【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，， ，，， PA=AB=BC=2. E是PC的中點.

（1）證明： ；

（2）求三棱錐P-ABC的體積；

（3） 證明：平面

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）證明PA⊥平面ABCD, PA⊥CD即得證；（2）直接利用三棱錐的體積公式求解；（3）先證明AE⊥PC， CD⊥AE，平面即得證.

（1）因為， ，平面ABCD,

所以PA⊥平面ABCD, 因為平面ABCD,

所以PA⊥CD.

（2）因為PA⊥平面ABCD，所以PA是三棱錐P-ABC的高，

所以.

（3）因為， AB=BC=2.

所以AC=PA=2,

因為E是PC的中點，

所以AE⊥PC.

因為CD⊥AC,AP⊥CD,平面APC,

所以CD⊥平面PAC,

所以CD⊥AE.

因為平面PCD,

所以AE⊥平面PCD.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在數(shù)列中，，且對任意，都有．

（1）計算，，，由此推測的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明；

（2）若（），求無窮數(shù)列的前項之和與的最大項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線：.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若曲線與交于，兩點，，的中點為，點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】工廠質檢員從生產(chǎn)線上每半個小時抽取一件產(chǎn)品并對其某個質量指標進行檢測，一共抽取了件產(chǎn)品，并得到如下統(tǒng)計表．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在一年內(nèi)所需的維護次數(shù)與指標有關，具體見下表.

質量指標

頻數(shù)

一年內(nèi)所需維護次數(shù)

（1）以每個區(qū)間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數(shù)據(jù)估計該廠產(chǎn)品的質量指標的平均值（保留兩位小數(shù)）；

（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取件產(chǎn)品，再從件產(chǎn)品中隨機抽取件產(chǎn)品，求這件產(chǎn)品的指標都在內(nèi)的概率；

（3）已知該廠產(chǎn)品的維護費用為元/次，工廠現(xiàn)推出一項服務：若消費者在購買該廠產(chǎn)品時每件多加元，該產(chǎn)品即可一年內(nèi)免費維護一次.將每件產(chǎn)品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產(chǎn)品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產(chǎn)品的平均消費費用，并以此為決策依據(jù)，判斷消費者在購買每件產(chǎn)品時是否值得購買這項維護服務？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點．

（1）求證：AD⊥平面PNB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐PNBM的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，,.

（Ⅰ）證明：平面;

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求平面與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著人民生活水平的日益提高,某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增.由于該小區(qū)建成時間較早,沒有配套建造地下停車場,小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成了交通的擁堵.該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計了近五年小區(qū)登記在冊的私家車數(shù)量(累計值,如124表示2016年小區(qū)登記在冊的所有車輛數(shù),其余意義相同),得到如下數(shù)據(jù):

編號

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量（單位：輛）

34

95

124

181

216

（1）若私家車的數(shù)量與年份編號滿足線性相關關系,求關于的線性回歸方程,并預測2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量；

(2)小區(qū)于2018年底完成了基礎設施改造,劃設了120個停車位,為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題,加強小區(qū)管理,物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進入小區(qū),由于車位有限，物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡競拍的方式將車位對業(yè)主出租,租期一年,競拍方案如下：

①截至2018年已登記在冊的私家車業(yè)主擁有競拍資格；

②每車至多申請一個車位,由車主在競拍網(wǎng)站上提出申請并給出自己的報價；

③根據(jù)物價部門的規(guī)定,競價不得超過1200元；

④申請階段截止后,將所有申請的業(yè)主報價自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報價成交；

⑤若最后出現(xiàn)并列的報價,則以提出申請的時間在前的業(yè)主成交,為預測本:次競拍的成交最低價,物業(yè)公司隨機抽取了有競拍資格的40位業(yè)主進行競拍意向的調(diào)查,統(tǒng)計了他們的擬報競價,得到如下頻率分布直方圖：

（ⅰ）求所抽取的業(yè)主中有意向競拍報價不低于1000元的人數(shù)；

（ⅱ）如果所有符合條件的車主均參與競拍,利用樣木估計總體的思想,請你據(jù)此預測至少需要報價多少元才能競拍車位成功?(精確到整數(shù))

參考公式:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過坐標原點的直線交橢圓于兩點，在第一象限，軸，垂足為，連接延長交橢圓于點.

①求證：；

②求面積最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司在招聘員工時，要進行筆試，面試和實習三個過程．筆試設置了3個題，每一個題答對得5分，否則得0分．面試則要求應聘者回答3個問題，每一個問題答對得5分，否則得0分．并且規(guī)定在筆試中至少得到10分，才有資格參加面試，而筆試和面試得分之和至少為25分，才有實習的機會．現(xiàn)有甲去該公司應聘，假設甲答對筆試中的每一個題的概率為，答對面試中的每一個問題的概率為．

（1）求甲獲得實習機會的概率；

（2）設甲在去應聘過程中的所得分數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望．

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