Question

6．已知實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的焦距為2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得m²=4×9=36，解可得m的值，分2種情況討論：當m=6時，圓錐曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1，為橢圓，當m=-6時，圓錐曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，為雙曲線，由橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得c的值，進而由焦距的定義可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則有m²=4×9=36，
則m=±6，
當m=6時，圓錐曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+y²=1，為橢圓，
其中a=$\sqrt{6}$，b=1，則c=$\sqrt{6-1}$=$\sqrt{5}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{5}$，
當m=-6時，圓錐曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，為雙曲線，
其中a=1，b=$\sqrt{6}$，則c=$\sqrt{6+1}$=$\sqrt{7}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{7}$，
綜合可得：圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$+y²=1的焦距為2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$；
故答案為：2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由等比數(shù)列的性質(zhì)求出m的值，確定圓錐曲線的方程．