Question

若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則x1•x2=

p2

4

是P₁P₂過拋物線焦點(diǎn)的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用拋物線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程；利用韋達(dá)定理求出兩個(gè)橫坐標(biāo)的乘積
由x1•x2=

p2

4

成立，判斷直線是否過焦點(diǎn)；反之直線過焦點(diǎn)成立，判斷x1•x2=

p2

4

是否成立，綜合可得答案．

解答：解：拋物線的焦點(diǎn)為（

p

2

，0）
設(shè)直線的方程為x=my+b

x=my+b y2=2px

得y²-2pmy-2pb=0
∴y₁•y₂=-2pb
∴x1•x2=

y12y22

2p

=b2
①當(dāng)x1•x2=

p2

4

所以有b=±

p

2

故直線不過焦點(diǎn)
②當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，即b=

p

2

所以x1•x2=

p2

4

所以x1•x2=

p2

4

是P₁P₂過拋物線焦點(diǎn)的必要不充分條件
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常將方程聯(lián)立用韋達(dá)定理、考查利用充要條件的定義判斷一個(gè)命題是另一個(gè)命題的什么條件．