Question

5．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，這個幾何體的體積為$\frac{40}{3}$
（1）求證：直線A₁B∥平面CDD₁C₁
（2）求證：平面ACD₁∥平面A₁BC₁
（3）求棱A₁A的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，可證四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）連接AD₁，AC，由（1）得A₁B∥D₁C，又∵A₁C₁∥AC
（3）設A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為$\frac{40}{3}$，利用等體積法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，進行求解．

解答 解：（1）證明：如圖，連接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）證明：連接AD₁，AC
由（1）得A₁B∥D₁C，又∵A₁C₁∥AC
A₁C₁∩A₁B=A₁，A₁C₁、A₁B?面A₁BC₁
AC∩D₁C=C，AC、D₁C?面ACD₁．
平面ACD₁∥平面A₁BC₁
（3）設A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為$\frac{40}{3}$，即S_ABCD×h-$\frac{1}{3}$×S△A₁B₁C₁×h=$\frac{40}{3}$，
即2×2×h-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×2×2×h=$\frac{40}{3}$，解得h=4．
∴A₁A的長為4．

點評 本題主要考查空間線面的位置關系、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，屬于中檔題．