四面體ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求證：AC⊥BD．

答案：
解析：

　　如圖，過A作AO⊥平面BCD于點O，連接OB、OC、OD，

　　∵AB⊥CD ∴OB⊥CD(三垂線定理的逆定理)，同理OD⊥BC．

　　∴O為△BCD的垂心，∴OC⊥BD，∴AC⊥BD(三垂線定理)．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知結論：“在三邊長都相等的△ABC中，若D是BC的中點，G是△ABC外接圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在六條棱長都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則
AO
OM
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知有關正三角形的一個結論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC內切圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內切球的球心，則
AO
OM
=
3
3
”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O是△ABC內任意一點，連結AO，BO，CO并延長交對邊于A′，B′，C′，則
OA′
AA′
+
OB′
BB′
+
OC′
CC′
=1，這是平面幾何中的一個命題，運用類比猜想，對于空間四面體ABCD中，若O四面體ABCD內任意點存在什么類似的命題
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
VO-BCD
VABCD
+
V0-ABD
VABCD
+
VO-ACD
VABCD
+
VO-ABC
VABCD
=1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•渭南三模）平面上：在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC的重心，則
AG
GD
=2；空間中：在正四面體ABCD中，若三角形BCD中心為M，正四面體ABCD中心為O，則
AO
OM
=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在四面體ABCD中，若AC與BD成60°角，且AC=BD=a，則連接AB、BC、CD、DA的中點的四邊形面積為
 
．

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