Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（1）寫(xiě)出圓C的普通方程；
（2）將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（3）過(guò)直線(xiàn)l的任意一點(diǎn)P作直線(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)可得圓C的普通方程；
（2）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（3）設(shè)過(guò)P，圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為d，則d²=|PA|•|PB|，求|PA|•|PB|的最小值，即求圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．

解答 解：（1）圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．普通方程為（x-3）²+y²=4；
（2）直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ+1=0，直角坐標(biāo)方程x+y+1=0；
（3）設(shè)過(guò)P，圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為d，則d²=|PA|•|PB|，
求|PA|•|PB|的最小值，即求圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．
圓心到直線(xiàn)的距離為$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴圓的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值=$\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$，
∴|PA|•|PB|的最小值為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．