A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
分析 由題意得到所有的S值判斷①,利用作差法求得S的最小值結(jié)合向量垂直、平行及數(shù)量積運(yùn)算判斷②③④,則答案可求.
解答 解:由題意可知,S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$ 有三個(gè)值,分別為$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}$、${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$、$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$.
∴①正確;
∵$2{\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}≥0$,
${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}≥0$,
∴${S}_{min}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow$.
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$,則Smin=0與|$\overrightarrow$|無(wú)關(guān),∴②正確;
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$,則Smin=$4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow>$,與|$\overrightarrow$|有關(guān),∴③錯(cuò)誤;
若|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$,Smin=4${|\overrightarrow{a}|}^{2}$,則cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow$>=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$,$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$,故④正確.
∴命題中正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力,是中檔題.
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A. | 18 | B. | 27 | C. | 36 | D. | 45 |
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A. | -15 | B. | 1 | C. | 5 | D. | 21 |
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A. | $2+\sqrt{5}$ | B. | $2+2\sqrt{5}$ | C. | $4+\sqrt{5}$ | D. | 5 |
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A. | {4} | B. | {1,2,4,6,7} | C. | {3,5} | D. | {1,7} |
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