Question

已知是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，求證：；
（2）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求證：不可能為等邊三角形.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析.

試題分析：（1）利用“點(diǎn)代法”求點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，在求解過程中證明結(jié)論.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042821204408.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，代入橢圓方程得，兩式相減得，所以（2）本題實(shí)質(zhì)為“弦中點(diǎn)”問題，設(shè)中點(diǎn)為，由“點(diǎn)差法”得又假設(shè)為等邊三角形時(shí)，有所以這與弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部矛盾，所以假設(shè)不成立.
試題解析：（1）證明：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042821485413.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，
所以                 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042821204408.png" style="vertical-align:middle;" />關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，                2分
將代入②得③，
由①和③消解得，                     4分
所以.                     5分
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，
可得，不是等邊三角形.           6分
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，顯然斜率不為0.
設(shè)直線：，中點(diǎn)為，
聯(lián)立消去得，         7分

由，得到①                 8分
又,
所以，
所以                     10分
假設(shè)為等邊三角形，則有，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042822031574.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即，          11分
化簡(jiǎn)，解得或       12分
這與①式矛盾，所以假設(shè)不成立.
因此對(duì)于任意不能使得,故不能為等邊三角形.      14分