Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，θ∈R），直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)，t∈R），求曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中直線的參數(shù)方程，消參求出直線的一般式方程，代入點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值．

解答 解：將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)，t∈R），
化為普通方程為x-y-6=0．
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=3sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）上，所以設(shè)P（4cosθ，3sinθ）．
點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|4cosθ-3sinθ-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5cos（θ+ϕ）-6|}{\sqrt{2}}$，其中tanφ=$\frac{3}{4}$，φ是銳角．
所以當(dāng)cos（θ+φ）=1時(shí)，d_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
所以點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與橢圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程與普通方程的互化，三角函數(shù)的最值，難度中檔．