17.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-$\frac{ax}{1+x}$.
(Ⅰ)若a=2,求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x)≥0對x∈(-1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)當(dāng)a=2時,$f(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{1+x}$,f(1)=ln2-1,k=f′(1)=0,由此能求出切線方程.
(Ⅱ)${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{a({x+1})-ax}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{{x-({a-1})}}{{{{({x+1})}^2}}}$,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出當(dāng)且僅當(dāng)a=1時f(x)≥0恒成立.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時,$f(x)=ln(1+x)-\frac{2x}{1+x}$,f(1)=ln2-1,…(1分),
${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{2({x+1})-2x}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x-1}{{{{({1+x})}^2}}}$,…(2分)
∴k=f′(1)=0,…(3分)
∴切線方程為y=ln2-1.…(4分)
(Ⅱ)${f^'}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{{a({x+1})-ax}}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{x+1-a}{{{{({1+x})}^2}}}=\frac{{x-({a-1})}}{{{{({x+1})}^2}}}$.
①當(dāng)a≤0時,a-1≤-1,又x∈(-1,+∞),
∴x-(a-1)>0,∴f′(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù),…(6分)
又∵f(0)=0,∴當(dāng)-1<x<0時,f(x)<0,與題意不符.…(7分)
②當(dāng)a>0,令f′(x)=0,得x=a-1>-1,
且-1<x<a-1時,f′(x)<0,x>a-1時,f′(x)>0,
∴f(x)在x=a-1時有極小值,也是最小值,
∴f(x)min=f(a-1)=lna-a+1≥0,…(9分)
記g(x)=lnx-x+1,則${g^'}(x)=\frac{1}{x}-1=-\frac{x-1}{x}$,
令g′(x)=0,得x=1,
當(dāng)0<x<1時,g′(x)>0,當(dāng)x>1時,g′(x)<0,
∴g(x)在x=1處有極大值就是最大值為g(1)=0,…(11分)
∴l(xiāng)na-a+1最大值為0,
又lna-a+1≥0,故a=1,
即當(dāng)且僅當(dāng)a=1時f(x)≥0恒成立.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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8.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是( 。
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12.如圖中的實(shí)心點(diǎn)個數(shù)1,5,12,22,…,被稱為五角形數(shù),其中第1個五角形數(shù)記作a1=1,第2個五角形數(shù)記作a2=5,第3個五角形數(shù)記作a3=12,第4個五角形數(shù)記作a4=22,…,若按此規(guī)律繼續(xù)下去,則an=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$.

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2.已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點(diǎn),求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值(  )
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9.觀察下列的規(guī)律:$\frac{1}{1}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{2}{1}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{2}{2}$,$\frac{3}{1}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{3}$,$\frac{3}{2}$,$\frac{4}{1}$,…則第89個是( 。
A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{2}{13}$C.$\frac{11}{3}$D.$\frac{1}{14}$

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(Ⅰ)證明:PB∥平面ACM;
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(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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同步練習(xí)冊答案