Question

已知

a

=（cosx，2sinx）

b

=（2

3

cosx，cosx），且f（x）=

a

•

b

-

3

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，若（c+2b）cosA=-acosC成立，求f（C）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用向量的數量積的坐標表示，及二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡，再由周期公式和正弦函數的單調增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
（Ⅱ）由正弦定理，結合兩角和差公式，解得A，再由三角形內角和對立，求得C的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(cosx，2sinx)，

b

=(2

3

cosx，cosx)，
∴f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

cos2x+sin2x
=2sin(2x+

π

3

)
則T=

2π

2

=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ(k∈Z)
∴單調遞增區(qū)間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)；
（Ⅱ）由正弦定理得：（sinC+2sinB）cosA=-sinAcosC
∴sin（A+C）=-2sinBcosA，即有sinB=-2sinBcosA，
∴cosA=-

1

2

，
∵A為三角形的內角∴A=

2π

3

，
則B+C=

π

3

，即0＜C＜

π

3

，
∴f（C）=2sin（2C+

π

3

），
又

π

3

＜2C+

π

3

＜π，則0＜sin（2C+

π

3

）≤1，
故f（C）∈（0，2]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查兩角和差的正弦公式及二倍角公式，考查正弦函數的單調區(qū)間和周期，考查正弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．