Question

設函數(shù)f（x）=|x+2|+|2x-1|
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥mx-

m

2

+

5

2

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,數(shù)形結合,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由絕對值的含義，討論當x≤-2時，當-2＜x＜

1

2

時，當x≥

1

2

時，去掉絕對值，由一次函數(shù)的單調性可得值域，進而得到最小值；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，則g（x）的圖象恒過定點（

1

2

，

5

2

），畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，通過圖象觀察，即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當x≤-2時，f（x）=-x-2+1-2x=-3x-1，此時f（x）≥5；
當-2＜x＜

1

2

時，f（x）=x+2+1-2x=3-x，此時

5

2

＜f（x）＜5；
當x≥

1

2

時，f（x）=x+2+2x-1=3x+1，此時f（x）≥

5

2

．
則有f（x）的值域為[

5

2

，+∞），
即有x=

1

2

時，f（x）取得最小值

5

2

；
（Ⅱ）令g（x）=mx-

m

2

+

5

2

，則g（x）的圖象恒過定點（

1

2

，

5

2

），
畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，
由圖象可得m的取值范圍為[-1，3]．

點評：本題考查絕對值的定義，考查一次函數(shù)的單調性的運用：求值域，考查數(shù)形結合的思想方法，考查直線恒過定點以及不等式恒成立問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．