(文)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c圖像上的點P(1,-2)處的切線方程為y=-3x+1.
(1)若函數(shù)f(x)在x=-2時有極值,求f(x)的表達式;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,求實數(shù)b的取值范圍.
(文)f′(x)=-3x2+2ax+b, 2分
因為函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為-3,
所以f′(1)=-3+2a+b=-3, 1分
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1. 2分
(1)函數(shù)f(x)在x=-2時有極值,所以f′(-2)=-12-4a+b=0 3分
解得a=-2,b=4,c=-3 5分
所以f(x)=-x3-2x2+4x-3. 6分
(2)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞增,所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)=-3x2-bx+b在區(qū)間[-2,0]上的值恒大于或等于零, 8分
則,得b≥4, 10分
所以實數(shù)b的取值范圍為[4+∞). 12分
(理)(1)由題設(shè)可知,f′(x)=3x2-4ax-3a2且f′(-1)>0,f′(1)<0.
即3+4a-3a2>0,∴<a< 2分
又3-4a-3a2<0,∴>a或 a> 4分
∴<a<.故a=1 6分
(2)由題設(shè)可知,f(x)=x3-2x2-3x,g(x)=x3+(1+b)x2-b,∴g(x)-f(x)=(b+3)x2+3x-b≥0在區(qū)間[-1,2]上恒成立 7分
ⅰ)當(dāng)b+3=0,即b=-3時,g(x)-f(x)=3(x+1)≥0在區(qū)間[-1,2]上恒成立. 8分
ⅱ)當(dāng) b+3≠0,即g(x)-f(x)=(b + 3)x2+3x-b=(b+3)(x + 1)(x-)≥0,在區(qū)間[-1,2]上恒成立
①當(dāng)b+3>0,令 (b + 3)(x + 1)(x - )= 0,解得 x =-1; x =.由題設(shè)可知;x=≤-1,即-3<b≤-. 10分
②當(dāng)b+3<0,令(b + 3)(x + 1)(x-)=0,解得x=-1;x=.由題設(shè)可知;x=≥2,即-6≤b<-3 11分
綜上可知: 實數(shù)b的取值范圍是-6≤b≤- ………12分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 | 2|x| |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
4+2b-b2 |
1-(x-a)2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
1 |
3 |
1 |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
π |
2 |
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