Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x∈（0，+∞），均有f（x）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得所求切線的斜率；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≥0，②當(dāng)a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由題意可得a＜-$\frac{lnx}{x}$，設(shè)h（x）=-$\frac{lnx}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得極值和最值，進(jìn)而得到所求a的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=2x+lnx，導(dǎo)數(shù)f′（x）=2+$\frac{1}{x}$（x＞0），
可得f′（1）=2+1=3，
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（2）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$（x＞0）=$\frac{ax+1}{x}$，
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，得x=-$\frac{1}{a}$．
在區(qū)間（0，-$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（-$\frac{1}{a}$，+∞）上f′（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
（3）對(duì)任意x∈（0，+∞），均有f（x）＜0，
則有a＜-$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)h（x）=-$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0得x=e，
當(dāng)0＜x＜e 時(shí)，h′（x）＜0，則h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＞0，則h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（e）=-$\frac{1}{e}$，
 可得a＜-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，極值和最值，考查分類討論的思想方法，參數(shù)分離的方法，和構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．