已知函數(shù)f(x)ag(x)aln xx(a≠0)

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:當(dāng)a>0,對于任意x1,x2,總有g(x1)<f(x2)成立.

 

1當(dāng)a>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1),(1∞);當(dāng)a<0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1),(1,∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)2)見解析

【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為R,

f(x).

當(dāng)a>0當(dāng)x變化時,f(x)f(x)的變化情況如下表:

 

x

(,1)

1

(11)

1

(1,∞)

f′(x)

0

0

f(x)

 

 

當(dāng)a<0當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:

 

x

(,1)

1

(11)

1

(1,∞)

f′(x)

0

0

f(x)

 

 

綜上所述,當(dāng)a>0f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1)單調(diào)遞減區(qū)間為(,1),(1∞);當(dāng)a<0f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,1)(1,∞)單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)

(2)證明:由(1)可知,當(dāng)a>0,f(x)(0,1)上單調(diào)遞增,f(x)(1e]上單調(diào)遞減,f(e)a>af(0)

所以x∈(0e],f(x)>f(0)a.

因為g(x)aln xx,所以g′(x)1,

g′(x)0xa.

當(dāng)0<a<e,g′(x)>0,0<x<a;由g′(x)<0,x>a,所以函數(shù)g(x)(0,a)上單調(diào)遞增,(a,e]上單調(diào)遞減,

所以g(x)maxg(a)aln aa.

因為a(aln aa)a(2ln a)>a(2ln e)a>0,

所以對于任意x1x2(0,e],總有g(x1)<f(x2)

當(dāng)a≥e,g(x)≥0(0,e]上恒成立,

所以函數(shù)g(x)(0,e]上單調(diào)遞增,g(x)maxg(e)ae<a,

所以對于任意x1,x2(0e],仍有g(x1)<f(x2)

綜上所述對于任意x1,x2(0,e],總有g(x1)<f(x2)

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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甲、乙兩位射擊運動員,甲擊中環(huán)數(shù)X1B(10,0.9),乙擊中環(huán)數(shù)X22Y1,其中YB(5,0.8),那么下列關(guān)于甲、乙兩運動員平均擊中環(huán)數(shù)的說法正確的是(  )

A甲平均擊中的環(huán)數(shù)比乙平均擊中的環(huán)數(shù)多

B乙平均擊中的環(huán)數(shù)比甲平均擊中的環(huán)數(shù)多

C甲、乙兩人平均擊中的環(huán)數(shù)相等

D僅依據(jù)上述數(shù)據(jù),無法判斷誰擊中的環(huán)數(shù)多

 

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△ABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,cf(A)2cos sinsin2cos2.

(1)求函數(shù)f(A)的最大值;

(2)f(A)0,C,a,b的值.

 

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圖表示的是函數(shù)yAsin(ωxφ)(ω>0π<φ<π)的圖像的一段,O是坐標(biāo)原點,P是圖像的最高點,M點的坐標(biāo)為(5,0),||,·15則此函數(shù)的解析式為________

 

 

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將函數(shù)ysin的圖像上各點向右平移個單位則得到新函數(shù)的解析式為(  )

Aysin Bysin Cysin Dysin

 

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已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x),若存在x0,使得f(x0)f′(x0),則稱x0f(x)的一個巧值點.下列函數(shù)中,巧值點的是(  )

f(x)x2;②f(x)ex;③f(x)ln x;f(x)tan x;⑤f(x).

A.①③⑤ B.③④ C.②③④ D.②⑤

 

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函數(shù)y的圖像大致是(  )

 

 

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如圖所示(1)反映的是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x之間關(guān)系的圖像.由于目前該條公交線路虧損,公司有關(guān)人員提出兩種調(diào)整建議,如圖(2)(3)所示.

(注:收支差額=營業(yè)所得的票價收入-付出的成本)

給出以下說法:

(2)的建議是:提高成本,并提高票價;

(2)的建議是:降低成本,并保持票價不變;

(3)的建議是:提高票價,并保持成本不變;

(3)的建議是:提高票價并降低成本.

其中說法正確的序號是(  )

A.①③ B.①④ C.②③ D②④

 

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已知關(guān)于x的不等式ax22xb>0(a≠0)的解集是,a>b的最小值是(  )

A2 B2 C. D1

 

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