Question

15．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，3），且當(dāng)x₁+x₂=$\frac{7π}{6}$時(shí)，滿(mǎn)足f（x₁）=-f（x₂）．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）的周期最大時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，將函數(shù)f（x）的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向左平移$\frac{π}{12}$得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意可求A，T，利用周期公式可求ω，利用f（x）=3sin（2x+φ）過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，3），可求φ的值，解得函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可計(jì)算得解f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得函數(shù)g（x）的解析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求其值域．

解答 解：（1）∵最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，3），可得：3=Asin（$\frac{π}{3}$ω+φ）≤A，可得：A=3，
∵圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{π}{3}$，3），且當(dāng)x₁+x₂=$\frac{7π}{6}$時(shí)，滿(mǎn)足f（x₁）=-f（x₂）．
∴圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5π}{6}$，-3），
∴當(dāng)函數(shù)f（x）的周期最大時(shí)，周期T=2（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
∵f（x）=3sin（2x+φ）過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，3），
∴可得：$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得：φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不變，
可得函數(shù)解析式為：y=3sin（4x-$\frac{π}{6}$），
再將所得函數(shù)圖象向左平移$\frac{π}{12}$得到函數(shù)g（x）的圖象，
可得函數(shù)解析式為：g（x）=3sin[4（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=3sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]，
∴4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得：sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，g（x）=3sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]，
可得：函數(shù)g（x）在[$\frac{π}{24}$，$\frac{7π}{24}$]上的值域?yàn)椋篬-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)值域的求法以及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)，屬于中檔題．