Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有三個(gè)根，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，從而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）由，得，得.

令，則，令，得，列表如下：

		極小值

如下圖所示，當(dāng)時(shí)，方程在時(shí)有兩根，當(dāng)或時(shí)，方程在時(shí)只有一根.

作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

①當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

此時(shí)方程在時(shí)只有一根，不合乎題意；

②當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，且，，

方程在時(shí)只有一根，方程在時(shí)只有一根，共有兩根，不合乎題意；

③當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

方程只有一根，不合乎題意；

④當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，且，，

方程在時(shí)有兩根，方程在時(shí)只有一根，共有三根，合乎題意；

⑤當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，

方程在時(shí)有一根，方程在時(shí)也只有一根，共兩根，不合乎題意；

⑥當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，

此時(shí)，方程在時(shí)只有一根，不合乎題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.