Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若不等式恒成立，求的最小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，極大值為，無(wú)極小值

（2）-1

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性，得極值，需分類討論．

（2）恒成立，設(shè)，求出的最大值，由得出滿足的不等關(guān)系，然后得，求得的最小值即得結(jié)論．

（1）解，

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值.

當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，極大值為，無(wú)極小值.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，極大值為，無(wú)極小值.

（2）由可得，

設(shè)，所以，，

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，所以不可能恒成立，

當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取最大值，，

所以，即，所以，

令，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取最小值，即，所以的最小值為-1.