Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|-2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）-a≤|x|，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；
（2）不等式可化為|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，求出左邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）x≤-$\frac{1}{2}$時(shí)，-1-2x+x≥2，∴x≤-3；
-$\frac{1}{2}＜x＜0$時(shí)，2x+1+x≥2，∴x$≥\frac{1}{3}$，不符合；
x≥0時(shí)，x+1≥2，∴x≥1，
綜上所述，不等式的解集為（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（2）不等式可化為|x+$\frac{1}{2}$|-|x|≤1+$\frac{a}{2}$，
∵||x+$\frac{1}{2}$|-|x||≤|x+$\frac{1}{2}$-x|=$\frac{1}{2}$
∴1+$\frac{a}{2}$≥-$\frac{1}{2}$，
∴a≥-3，
∴a的最小值為-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．