Question

13．已知球O的半徑為3，CD為球的直徑，A，B為球面上兩點(diǎn)，且AB長(zhǎng)為$3\sqrt{2}$，則四面體ABCD的體積是最大值為（　�。�

• A． 8
• B． $6\sqrt{2}$
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 設(shè)C點(diǎn)到面AOB的高為h₁，D點(diǎn)到面AOB的高為h₂．V_ABCD=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂）S_AOB；當(dāng)CD⊥面AOB時(shí)，h₁+h₂ 取最大值6；當(dāng)AO⊥BO時(shí)，S_AOB面積取得最大為$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$．

解答 解：設(shè)C點(diǎn)到面AOB的高為h₁，D點(diǎn)到面AOB的高為h₂．
四面體ABCD的體積：
V_ABCD=$\frac{1}{3}$h₁S_AOB+$\frac{1}{3}{h}_{2}{S}_{AOB}$
=$\frac{1}{3}$（h₁+h₂）S_AOB
當(dāng)CD⊥面AOB時(shí)，h₁+h₂ 取最大值6；
當(dāng)AO⊥BO時(shí)，∵AB=3$\sqrt{2}$∴AO=3；
S_AOB面積取得最大為$\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{9}{2}$
∴V_ABCD=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×6$=9．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了三棱錐與球的結(jié)構(gòu)特征，以及棱錐的體積最大值問(wèn)題，屬中等題．