2.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a}{3}{x^3}-\frac{1}{2}(a+1){x^2}+x-\frac{1}{3}$(a∈R).
(1)若a<0,求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a≤1時(shí),判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),列出表格求出函數(shù)的極值即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

解答 解:(1)$f'(x)=a{x^2}-(a+1)x+1=a(x-1)(x-\frac{1}{a})$,
∵a<0,∴$\frac{1}{a}<1$

$(-∞,\frac{1}{a})$$\frac{1}{a}$$(\frac{1}{a},1)$1(1,+∞)
f'(x)-0+0-
f(x)遞減極小值遞增極大值遞減
所以f(x)的極小值為$f(\frac{1}{a})=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}$,
極大值為$f(1)=-\frac{1}{6}(a-1)$.
(2)由(1)得$f'(x)=a{x^2}-(a+1)x+1=a(x-1)(x-\frac{1}{a})$,
①當(dāng)a<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上遞減.
又因?yàn)?f(1)=-\frac{1}{6}(a-1)>0$,$f(0)=-\frac{1}{3}<0$,$f(2)=\frac{1}{3}(2a-1)<0$,
所以f(x)在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn);
②當(dāng)a=0時(shí),$f(x)=-\frac{1}{2}x+x-\frac{1}{3}$,在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn);
③當(dāng)$0<a≤\frac{1}{2}$時(shí),$\frac{1}{a}≥2$,f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上遞減,
又因?yàn)?f(1)=-\frac{1}{6}(a-1)>0$,$f(0)=-\frac{1}{3}<0$,$f(2)=\frac{1}{3}(2a-1)≤0$,
所以f(x)在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn);
④當(dāng)$\frac{1}{2}<a<1$時(shí),$1<\frac{1}{a}<2$,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在$(1,\frac{1}{a})$上遞減,在$(\frac{1}{a},2)$上遞增.
又因?yàn)?f(1)=-\frac{1}{6}(a-1)>0$,$f(0)=-\frac{1}{3}<0$,$f(\frac{1}{a})=\frac{{-2{a^2}+3a-1}}{{6{a^2}}}=\frac{-(2a-1)(a-1)}{{6{a^2}}}>0$,
所以f(x)在[0,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),在[1,2]上沒(méi)有零點(diǎn),
所以f(x)在[0,2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
⑤當(dāng)a=1時(shí),f'(x)≥0恒成立,f(x)在[0,2]單調(diào)遞增,
∵$f(0)=-\frac{1}{3}<0$,f(2)>0,
所以f(x)在[0,2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),
綜上可知,當(dāng)$\frac{1}{2}<a≤1$時(shí),f(x)在[0,2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí),f(x)在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,是一道中檔題.

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