Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有零點(diǎn)，則ab的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有零點(diǎn)，

∴△=a2﹣4b≥0，

（i）若△=0，即b= 時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為x=﹣ ，

∴0≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤0，

∴ab= ，

∴當(dāng)a=0時(shí)，ab取得最大值0；

（ii）若△＞0，即b＜ ，

①若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有一個(gè)零點(diǎn)，則f（0）f（1）≤0，

∴b（1+a+b）≤0，

即b+b2+ab≤0，

∴ab≤﹣b2﹣b=﹣（b+ ）2+ ，

∴ab的最大值是 ；

②若函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）在區(qū)間[0，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴ ，即

顯然ab≤0，

綜上，ab的最大值為 ．

【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�