Question

已知點(diǎn)P為橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限內(nèi)一點(diǎn)，且它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，若點(diǎn)P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)p（x，y），由P與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，結(jié)合題設(shè)條件推導(dǎo)出x²+y²=25，再由P為橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)立方程組求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，根據(jù)點(diǎn)到直線距離的公式能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：設(shè)p（x，y），
∵橢圓

x2

45

+

y2

20

=1，∴c=5，兩焦點(diǎn)F₁=（-5，0），F(xiàn)₂=（5，0），
∵P與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，
∴kPF1•kPF2=

y

x+5

•

y

x-5

=-1．
∴x²+y²=25，
又∵P為橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上且位于在第三象限內(nèi)一點(diǎn)，
∴解出x=-3，y=-4，∴p（-3，-4）
又∵P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，
∴根據(jù)點(diǎn)到直線距離的公式有：

|4×(-3)+(-3)×(-4)-2m+1

42+(-3)2

≤3
整理實(shí)數(shù)m的取值范圍是，得|2m-1|≤15，
解得-7≤m≤8，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-7，8]．
故答案為：[-7，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意直線垂直的條件的合理運(yùn)用．