Question

17．雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁作曲線C₂：x²+y²=a²的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)F₁M交曲線C₃：y²=2px（p＞0）于點(diǎn)P，其中C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若M為F₁P的中點(diǎn)，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出P的坐標(biāo)，代入拋物線方程，從而求雙曲線的離心率．

解答 解：|OF₁|=c，|OM|=a，|F₁M|=b，
又∵M(jìn)為PF₁的中點(diǎn)，
∴|PF₂|=2|OM|=2a，|PF₁|=2b，
∵C₁與C₃有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，
∴p=2c，
設(shè)P（x，y），則x+c=2a，
∴x=2a-c，
∵c•y_M=ab，
∴y_M=$\frac{ab}{c}$，
∴y_P=$\frac{2ab}{c}$，
代入拋物線方程可得$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=4c（2a-c），
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的作圖能力及分析轉(zhuǎn)化的能力，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．