Question

已知等比數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)a₁=2011，公比q=-

1

2

，數(shù)列{a_n} 前n項(xiàng)和記為s_n，前n項(xiàng)積記為∏(n)
（1）證明s₂≤s_n≤s₁
（2）判斷|∏(n)|與|∏(n+1)|的大小，n為何值時(shí)，∏(n)取得最大值
（3）證明{a_n} 中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，如果所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次設(shè)為d₁，d₂，d₃，…d_n，…，，證明：數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．（參考數(shù)據(jù)2¹⁰=1024）

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出數(shù)列{a_n} 前n項(xiàng)和s_n，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況即可得到s_n的最大值和最小值，得證；
（2）由π（n）表示前n項(xiàng)之積，表示出

|π(n+1)|

|π(n)|

，根據(jù)n等于10時(shí)其值大于1，n等于11時(shí)其值小于1，得到|π（n）|最大值等于|π（11）|，但是π（11）小于0，而π（10）小于0，π（9）大于0，π（12）大于0，所以π（n）的最大值是π（9）與π（12）中的較大者，利用做商的方法即可判斷出π（n）的最大值是π（12）；
（3）設(shè)出數(shù)列{a_n} 中的任意相鄰三項(xiàng)為：a_n，a_n+1，a_n+2，然后根據(jù)|a_n|隨n增大而減小，{a_n}奇數(shù)項(xiàng)均為正，偶數(shù)項(xiàng)均為負(fù)，分n為奇數(shù)和偶數(shù)對(duì)設(shè)出的三項(xiàng)進(jìn)行調(diào)整，利用等差數(shù)列的性質(zhì)確定其三項(xiàng)為等差數(shù)列，并求出相應(yīng)的公差，得到數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列，得證．

解答：解：（1）由等比數(shù)列{a_n} 的首項(xiàng)a₁=2011，公比q=-

1

2

，
得s_n=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a₁[1-(-

1

2

)n]，
①n是奇數(shù)時(shí)，(-

1

2

)n=-(

1

2

)n，n=1時(shí)，-(

1

2

)n最小，
②n是偶數(shù)時(shí)，(-

1

2

)n=(

1

2

)n，n=2時(shí)，(

1

2

)n最大，
綜上：s₂≤s_n≤s₁；
（2）∵|π（n）|=|a₁a₂a₃…a_n|，∴

|π(n+1)|

|π(n)|

=|a_n+1|=2011×(

1

2

)n，
∵

2011

210

＞1＞

2011

211

，
當(dāng)n≤10時(shí)，|π（n+1）|＞|π（n）|；當(dāng)n≥11時(shí)，|π（n+1）|＜|π（n）|；
∴|π（n）|_max=|π（11）|，但π（11）＜0，∵π（10）＜0，π（9）＞0，π（12）＞0，
∴π（n）的最大值是π（9）與π（12）中的較大者，
∵

π(12)

π(9)

=a₁₀•a₁₁•a₁₂=[2011×(

1

2

)10]3＞1，
∴π（9）＜π（12），
∴當(dāng)n=12時(shí)，π（12）最大；
（3）對(duì)a_n，a_n+1，a_n+2進(jìn)行調(diào)整，|a_n|隨n增大而減小，{a_n}奇數(shù)項(xiàng)均為正，偶數(shù)項(xiàng)均為負(fù)，
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，調(diào)整為：a_n+1，a_n+2，a_n；
則a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

1

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n+1，a_n+2，a_n成等差數(shù)列；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，調(diào)整為：a_n，a_n+2，a_n+1，
則a_n+1+a_n=a₁(-

1

2

)n+a₁(-

1

2

)n-1=a₁

(-1)

2n

，2a_n+2=2a₁(-

1

2

)n+1=a₁

(-1)

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，即a_n，a_n+2，a_n+1成等差數(shù)列；
所以{a_n}中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列．
①n是奇數(shù)時(shí)，公差d_n=a_n+2-a_n+1=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=a₁

3

2n+1

；
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，公差d_n=a_n+2-a_n=a₁[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=a₁

3

2n+1

，
無(wú)論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有d_n=a₁

3

2n+1

，則

dn+1

dn

=

1

2

，
∴數(shù)列{d_n}是以d₁=

3

4

a₁，公比為

1

2

的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握確定數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用做商的方法判斷兩式子的大小，是一道中檔題．此題的邏輯性比較強(qiáng)，鍛煉了學(xué)生的推理論證的能力．