Question

【題目】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min．在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，cosA= ，cosC=

（1）求索道AB的長(zhǎng)；
（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，因?yàn)閏osA= ，cosC= ，所以sinA= ，sinC= ，

從而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= =

由正弦定理 ，得AB= = =1040m．

所以索道AB的長(zhǎng)為1040m．

（2）解：假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得

d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）× =200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣ ）2+ ]，

因0≤t≤ ，即0≤t≤8，故當(dāng)t= min時(shí)，甲、乙兩游客距離最短．

（3）解：由正弦定理 ，得BC= = =500m，

乙從B出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了50×（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達(dá)C．

設(shè)乙步行的速度為 v m/min，由題意得﹣3≤ ≤3，解得 ，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在[ ]范圍內(nèi)．

【解析】（1）根據(jù)正弦定理即可確定出AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，由余弦定理可得；（3）設(shè)乙步行的速度為 v m/min，從而求出v的取值范圍．