10.如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求證:BD⊥平面AED;
(2)若△EAD中,AE=ED,∠EAD=45°,求二面角F-BD-E的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出BD⊥AD,AE⊥BD,由此能證明BD⊥面AED.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DB為x軸,y軸,過點(diǎn)D作CF的平行線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F-BD-E的余弦值.

解答 證明:(1)∵AB∥CD,∠DAB=60°,
∴∠DCB=120°,
∵CD=CB,∴∠CDB=30°,∴BD⊥AD,
∵AE⊥BD,AE∩AD=A,AE?面AED,
∴BD⊥面AED.
解:(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DB為x軸,y軸,
過點(diǎn)D作CF的平行線為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)CD=CB=2,則$DB=2\sqrt{3},AD=2$,
由條件得:$AE=\sqrt{2}=ED$,作EH⊥AD,
則由已知得EH⊥平面ABCD,且EH=DH=1.
∴$E(1,0,1),F(xiàn)(-1,\sqrt{3},2),B(0,2\sqrt{3},0)$,
設(shè)面DBE的法向量$\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+0+z=0}\end{array}}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n_1}=(1,0,-1)$.
設(shè)面DBF的法向量$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{{\begin{array}{l}{y=0}\\{-x+0+2z=0}\end{array}}\right.$,則取x=2,得$\overrightarrow{n_2}=(2,0,1)$.
∵$cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,
∴二面角F-BD-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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