Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=2x，則x²y²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0⇒0≤x≤2，x²y²=2x³-x⁴，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），利用導(dǎo)數(shù)法可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，從而可求其值域．

解答： 解：由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0，
∴0≤x≤2，x²y²=x²（2x-x²）=2x³-x⁴．
設(shè)f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），
則f′（x）=6x²-4x³=2x²（3-2x），
當(dāng)0＜x＜

3

2

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，

3

2

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)

3

2

＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（

3

2

，2）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，f（

3

2

）=

27

16

，
當(dāng)x=0、x=2時(shí)，f（x）=0，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，

27

16

]，
即0≤x²y²≤

27

16

．
故答案為：[0，

27

16

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查構(gòu)造函數(shù)思想與導(dǎo)數(shù)法的應(yīng)用，著重考查化歸思想與創(chuàng)新思維，考查分析問題、解決問題的能力，屬于難題．