Question

已知橢圓的中心在坐標原點，離心率為，一個焦點是F（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）直線l過點F交橢圓于A、B兩點，且點F分向量所成的比為2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓方程為（a＞b＞0）．依題意知c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分），由此可知所求橢圓方程為．
（Ⅱ）若直線l的斜率k不存在，則不滿足|AF|=2|FB|．當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+1．因為直線l過橢圓的焦點F（0，1），所以k取任何實數(shù)，直線l與橢圓均有兩個交點A、B．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．然后由根與系數(shù)的關系進行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為（a＞b＞0）．（1分）
依題意，，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，（2分）
∴所求橢圓方程為．（4分）
（Ⅱ）若直線l的斜率k不存在，則不滿足|AF|=2|FB|．
當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=kx+1．因為直線l過橢圓的焦點F（0，1），所以k取任何實數(shù)，直線l與橢圓均有兩個交點A、B．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．（6分）
∴，①，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
∵，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．（8分）
將x₁=-2x₂代入①、②，得，③，④（10分）
由③、④得，=，化簡得=，
解得，；
∴直線l的方程為：．（13分）
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．