Question

（05年湖北卷）（12分）

設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).

     （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線(xiàn)AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由.

        （此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）解法1：依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，整理得   ①

    設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根，

    ∴   ②

    且由N（1，3）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，得

    

    解得k=－1，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）.

    于是，直線(xiàn)AB的方程為

    解法2：設(shè)則有

   

    依題意，

∵N（1，3）是AB的中點(diǎn)，  ∴

又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，∴

∴的取值范圍是（12，+∞）.

直線(xiàn)AB的方程為y－3=－（x－1），即x+y－4=0.

   （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直線(xiàn)CD的方程為y－3=x－1，即x－y+2=0，

代入橢圓方程，整理得  

又設(shè)CD的中點(diǎn)為是方程③的兩根，

∴

于是由弦長(zhǎng)公式可得    ④

將直線(xiàn)AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程得  ⑤

同理可得    ⑥

∵當(dāng)時(shí)，

假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.

點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為   ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當(dāng)>12時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)勻在以M為圓心，為半徑的圓上.

   （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：）

A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角|AN|²=|CN|?|DN|，

即    ⑧

由⑥式知，⑧式左邊

由④和⑦知，⑧式右邊

∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD垂直平分AB， ∴直線(xiàn)CD方程為，代入橢圓方程，整理得

   ③

將直線(xiàn)AB的方程x+y－4=0，代入橢圓方程，整理得

  ⑤

解③和⑤式可得  

不妨設(shè)

∴

計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）