已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點(diǎn)重合，過(guò)P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．
（I）由雙曲線
y2
2
-x2=1得焦點(diǎn)(0，±
3
)，得b=
3
．
又e=
c
a
=
1
2
，a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2=4，c=1．
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），聯(lián)立
y=k(x-4)
x2
4
+
y2
3
=1
，
（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0，
由△=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0得k2＜
1
4
．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
32k2
4k2+3
，x1x2=
64k2-12
4k2+3
，
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2，
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)•
64k2-12
4k2+3
-4k2•
32k2
4k2+3
+16k2=25-
87
4k2+3
，
∵0≤k2＜
1
4
，∴-
87
3
≤
87
4k2+3
＜-
87
4
，
∴
OA
•
OB
∈[-4，
13
4
)．
故
OA
•
OB
的取值范圍為[-4，
13
4
)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

[理]如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B分別在圖中拋物線y2=4x及橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的實(shí)線上運(yùn)動(dòng)，若AB∥x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），則△ABN的周長(zhǎng)l的取值范圍是______．
[文]點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn)，則P到直線y=x-2的距離的最小值是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為P（1，0），過(guò)C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2：y=x2+h（h∈R）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓C1上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P，A，B是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)，Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA2+OB2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知P是橢圓
x2
45
+
y2
20
=1的第三象限內(nèi)一點(diǎn)，且它與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，若點(diǎn)P到直線4x-3y-2m+1=0的距離不大于3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．[-7，8]B．[-
9
2
，
21
2
]		C．[-2，2]D．（-∞，-7]∪[8，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2，0），B（2，0），P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為-
1
4
，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)M，N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且
DM
=λ
DN
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2是其左右焦點(diǎn)，其離心率是
6
3
，P是橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的周長(zhǎng)是2（
3
+
2
）．
（1）求橢圓的方程；
（2）試對(duì)m討論直線y=2x+m（m∈R）與該橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)點(diǎn)C（4，0）的直線與雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　�。�
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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