Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在的導(dǎo)數(shù)是曲線在處切線的斜率，列方程求；（2）不等式變形為設(shè)，可得遞增，所以在恒成立，

變形為恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；（3）不等式等價于，設(shè)，求，然后討論極值點和定義域的關(guān)系，分，和三種情況求函數(shù)在上的最小值，令最小值小于0，分別解關(guān)于的不等式，得到的取值范圍.

（1）的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率為，

由切線的方程為，可得，

解得；

（2），

對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，即為

令，可得遞增，

由恒成立，

可得的最大值，由可得最大值，

則，即的取值范圍是；

（3）不等式等價于，

整理得，設(shè)，

則由題意可知只需在上存在一點，使得．

對求導(dǎo)數(shù)，得

因為，所以，令，得．

①若，即時，令，解得．

②若，即時，在處取得最小值，

令，即，

可得

對于式子，因為，可得左端大于，而右端小于，所以不等式不能成立

③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，只需，得，

又因為，則．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．