Question

14．如圖，∠C=$\frac{π}{2}$，AC=BC，M，N分別是BC、AB的中點(diǎn)，沿直線MN將△BMN折起使點(diǎn)B到達(dá)B′，且∠B′MB=$\frac{π}{3}$，則B′A與平面ABC所成角的正切值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，作出B′A在平面ABC上的投影，得到B′A與平面ABC所成角，求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖：

 由于折疊之前BM與CM都始終垂直于MN，這在折疊之后仍然成立，
∴折疊之后平面B′MN與平面BMN所成的二面角即為∠B′MB=$\frac{π}{3}$，并且B′在底面ACB內(nèi)的投影點(diǎn)H就在BC上，且恰在BM的中點(diǎn)位置，
連接B′A和AH，設(shè)AC=BC=a，
在直角三角形ACH中，AH=$\frac{5}{4}$a，
在直角三角形B′MH中，由于B′M=$\frac{1}{2}$a，∠B′MH=60°，∴B′H=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
在直角三角形B′AH中，tan∠B′AH=$\frac{B′H}{AH}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{5}{4}a}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成的角，關(guān)鍵應(yīng)抓住折疊前與折疊后的變量與不變量，考查了二面角的平面角及直線與平面所成角的概念，是中檔題．