已知向量
a
=(cos
x
2
，sin
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-cos
x
2
)，若函數(shù)f(x)=
a
•
b
-
1
2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f（a）=
3
2
10
，求sin2a的值．
分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與輔助角公式可求得f（x）=
2
2
cos（x+
π
4
），從而可求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由f（a）=
3
2
10
，可求得cos（a+
π
4
）=
3
5
，利用余弦的二倍角公式即可求得sin2a的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=cos2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2

=
1
2
（1+cosx）-
1
2
sinx-
1
2

=
2
2
cos（x+
π
4
）
所以f（x）的最小正周期為2π，值域?yàn)閇-
2
2
，
2
2
]．
（Ⅱ）由（1）知，f（a）=
2
2
cos（a+
π
4
）=
3
2
10
，
所以cos（a+
π
4
）=
3
5
．
所以sin2a=-cos（
π
2
+2a）=-cos2（a+
π
4
）
=1-2cos2(a+
π
2
)=1-
18
25
=
7
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與輔助角公式，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用與二倍角的余弦，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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