Question

12．在等差數(shù)列{a_n}中，a₃=6，a₈=26，S_n為等比數(shù)列{b_n}的前n項和，且b₁=1，4S₁，3S₂，2S₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=|a_n|•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）a₈-a₃=5d=26-6=20，∴公差d=4，∴a_n=a₃+（n-3）d=4n-6…（2分）
又6S₂=4S₁+2S₃．即3（b₁+b₂）=2b₁+b₁+b₂+b₃，∴b₃=2b₂，
∴公比q=2，∴b_n=2^n-1…（4分）
（2）c_n=|4n-6|•2^n-1=|2n-3|•2ⁿ…（5分）
1°當(dāng)n=1時，2n-3＜0，∴T₁=2…（6分）
2°當(dāng)n≥2時，2n-3＞0，c_n=（2n-3）•2ⁿ，
T_n=2+1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ，
∴2T_n=4+1•2³+3•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2³+2⁴+2ⁿ）-（2n-3）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{{2^3}（1-{2^{n-2}}）}}{1-2}-（2n-3）•{2^{n+1}}$=-14+（5-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-5）•2ⁿ⁺¹+14…（10分）
當(dāng)n=1時，滿足上式，∴T_n=（2n-5）•2ⁿ⁺¹+14…（12分）

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．