Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），若方程f（x）=-1在（0，π）上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為（　　）

• A． （$\frac{13}{6}$，$\frac{7}{2}$]
• B． （$\frac{7}{2}$，$\frac{25}{6}$]
• C． （$\frac{25}{6}$，$\frac{11}{2}$]
• D． （$\frac{11}{2}$，$\frac{37}{6}$]

Answer 1

分析 化簡f（x）的解析式，作出f（x）的函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出直線y=-1與y=f（x）在（0，+∞）上的交點(diǎn)坐標(biāo)，則π介于第4和第5個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間．

解答 解：f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

令2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）=-1得ωx-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$+2kπ，或ωx-$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$+2kπ，
∴x=$\frac{π}{6ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，或x=$\frac{3π}{2ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z，
設(shè)直線y=-1與y=f（x）在（0，+∞）上從左到右的第4個(gè)交點(diǎn)為A，第5個(gè)交點(diǎn)為B，
則x_A=$\frac{3π}{2ω}+$$\frac{2π}{ω}$，x_B=$\frac{π}{6ω}+\frac{4π}{ω}$，
∵方程f（x）=-1在（0，π）上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x_A＜π≤x_B，
即$\frac{3π}{2ω}+$$\frac{2π}{ω}$＜π≤$\frac{π}{6ω}+\frac{4π}{ω}$，解得$\frac{7}{2}＜ω≤\frac{25}{6}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．