已知在△ABC中,AB=BC=3,AC=4,設(shè)O是△ABC的內(nèi)心,若
AO
=m
AB
+n
AC
,則m:n=(  )
A、5:3B、4:3
C、2:3D、3:4
考點(diǎn):平面向量的基本定理及其意義
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:利用三點(diǎn)共線定理、共面向量基本定理、三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)即可得出.
解答: 解:如圖所示,
設(shè)三角形的三條內(nèi)角平分線BD、AE、CF相交于點(diǎn)O.
∵B,O,D三點(diǎn)共線,
∴存在實(shí)數(shù)λ使得
AO
AD
+(1-λ)
AB

∵AB=BC=3,O是△ABC的內(nèi)心,
∴BD平分AC,
AD
=
1
2
AC

AO
=(1-λ)
AB
+
1
2
λ
AC

同理由C,O,F(xiàn)三點(diǎn)共線和角平分線的性質(zhì)可得
AO
=
4
7
μ
AB
+(1-μ)
AC

1-λ=
4
7
μ
1
2
λ=1-μ
,解得
μ=
7
10
λ=
3
5

AO
=
2
5
AB
+
3
10
AC

AO
=m
AB
+n
AC
比較可得:m=
2
5
,n=
3
10

則m:n=4:3.
故選:B.
點(diǎn)評:本題考查了三點(diǎn)共線定理、共面向量基本定理、三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì),考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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