Question

【題目】蘋果可按果徑（最大橫切面直徑，單位：.）分為五個(gè)等級(jí)：時(shí)為1級(jí)，時(shí)為2級(jí)，時(shí)為3級(jí)，時(shí)為4級(jí)，時(shí)為5級(jí).不同果徑的蘋果，按照不同外觀指標(biāo)又分為特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果.某果園采摘蘋果10000個(gè)，果徑均在內(nèi)，從中隨機(jī)抽取2000個(gè)蘋果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如圖1所示的頻率分布直方圖，圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級(jí)分布統(tǒng)計(jì)圖.

（1）假設(shè)服從正態(tài)分布，其中的近似值為果徑的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替），，試估計(jì)采摘的10000個(gè)蘋果中，果徑位于區(qū)間的蘋果個(gè)數(shù)；

（2）已知該果園今年共收獲果徑在80以上的蘋果，且售價(jià)為特級(jí)果12元，一級(jí)果10元，二級(jí)果9元.設(shè)該果園售出這蘋果的收入為，以頻率估計(jì)概率，求的數(shù)學(xué)期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則

，，.

Answer 1

【答案】（1）8186（個(gè)）（2）見解析

【解析】

（1）由平均值公式計(jì)算均值，進(jìn)一步求得P(59.85＜M＜77.7)的值，即可求解；（2）確定特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果的概率，即可列出分布列求解

（1）＝62.5×5×0.03＋67.5×5×0.05＋72.5×5×0.06＋77.5×5×0.04＋82.5×5×0.02＝71.75．所以M服從正態(tài)分布N(71.75，35.4)．

從而有P(59.85＜M＜77.7)＝P(μ－2σ＜Z＜μ＋σ)

＝[P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＋P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)]＝0.8186，

故采摘的10000個(gè)蘋果中，果徑位于區(qū)間(59.85，77.7)的蘋果個(gè)數(shù)約為10000×0.8186＝8186（個(gè)）．

（2）由圖2可知，果徑在80以上的蘋果中，特級(jí)果、一級(jí)果、二級(jí)果的概率分別為，，，

設(shè)出售1kg果徑在80以上蘋果的收入為Y，則Y的分布列為：

故E(Y)＝12×＋10×＋9×＝10.1，

所以E(X)＝800E(Y)＝8080元．