Question

13．已知$a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$，則二項(xiàng)式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-672．

Answer 1

分析 $a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$=$\frac{1}{π}$$（{∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx+{∫}_{-1}^{1}sinxdx）$=$\frac{1}{2}$，則二項(xiàng)式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$即$（2x-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{9}$，利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：$a=\frac{1}{π}\int_{-1}^1{（\sqrt{1-{x^2}}+sinx）dx}$=$\frac{1}{π}$$（{∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx+{∫}_{-1}^{1}sinxdx）$=$\frac{1}{π}$×$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$+$\frac{1}{π}×（-cosx）{|}_{-1}^{1}$=$\frac{1}{2}$，
則二項(xiàng)式${（2x-\frac{a}{x^2}）^9}$即$（2x-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{9}$，通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{9}^{r}（2x）^{9-r}（-\frac{1}{2{x}^{2}}）^{r}$=（-1）^r2^9-2r${∁}_{9}^{r}$x^9-3r，
令9-3r=0，解得r=3．
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：-2³${∁}_{9}^{3}$=-672．
故答案為：-672．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式、微積分基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．