Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）在其定義域上的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先將f（1）=2代入，求出a的值代入后再判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；
（2）利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性；
（3）結(jié)合第（2）問單調(diào)性的結(jié)果，判斷該函數(shù)在[2，5]上的單調(diào)性，再求最值．

解答： 解：f（1）=2∴1+a=2∴a=1，
（1）f（-x）=

x2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f(x)，
定義域為{x|x∈R且x≠0}，關于原點對稱，∴為奇函數(shù)．x₂＞x₁＞1；
（2）由（1）知f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，
任�。畑₂＞x₁＞1，
則f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)，
1＜x₁＜x₂＜+∞∴x₁x₂＞1∴0＜

1

x1x2

＜1即1-

1

x1x2

＞0且x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）由（2）知函數(shù)f（x）在[2，5]上遞增，
所以f(x)max=f(5)=5

1

5

，f(x)min=f(2)=

5

2

點評：本題屬于基礎題難度不大，主要是考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性、利用單調(diào)性求最值的問題．