Question

（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA₁＝，D是A₁B₁中點(diǎn)．

（1）求證：C₁D⊥AB₁ ；
（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB₁上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB₁⊥平面C₁DF？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）C₁D⊥平面AA₁B₁B．（2）點(diǎn)F為的中點(diǎn).

試題分析：（1）證明：如圖，

∵ ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴ A₁C₁＝B₁C₁＝1，且∠A₁C₁B₁＝90°．
又 D是A₁B₁的中點(diǎn)，∴ C₁D⊥A₁B₁．-------------3分
∵ AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁D平面A₁B₁C₁，
∴ AA₁⊥C₁D，∴ C₁D⊥平面AA₁B₁B．
∴C₁D⊥AB₁-----------------------------------6分
（2）解：作DF⊥AB₁交AB₁于E，DF交BB₁于F，連結(jié)C₁F，
又由（1）C₁D⊥AB₁
則AB₁⊥平面C₁DF，點(diǎn)F即為所求．---------------------9分
連∵  即四邊形為正方形.
∴  
∴∥又D是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn).------------12分
點(diǎn)評(píng)：①本題主要考查了空間的線線垂直的證明，充分考查了學(xué)生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識(shí)圖能力。②我們要熟練掌握正棱柱、直棱柱的結(jié)構(gòu)特征。正棱柱：底面是正多邊形，側(cè)棱垂直底面。直棱柱：側(cè)棱垂直底面。