Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），設(shè)a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a；
（Ⅲ）對(duì)每一個(gè)k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個(gè)2，得到新數(shù)列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，記為{b_n}，設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接把點(diǎn)A（2，1）和B（5，2）的坐標(biāo)代入函數(shù)方程求出a，b的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)n∈N^*均成立，再記，相鄰兩相作商得到其單調(diào)行，進(jìn)而求出其最小值即可得到最大實(shí)數(shù)a；
（Ⅲ）先根據(jù)條件求出a_m及其前面所有項(xiàng)之和的表達(dá)式，再根據(jù)10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁，即可找到滿足條件的m的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，得解得：．
∴…（2分）
∴．n∈N^*
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1…（4分）
（Ⅱ）由題意對(duì)n∈N^*均成立…（5分）
記
則
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）隨著n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值為
∴a≤，即a的最大值為…（8分）
（Ⅲ）∵a_n=2n-1
∴在數(shù)列{b_n}中，a_m及其前面所有項(xiàng)之和為[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+2²+…+2^m-1）=m²+2^m-2…（10分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167
即a₁₀＜2008＜a₁₁…（11分）
又a₁₀在數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)數(shù)為：10+1+2+…+2⁸=521…（12分）
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整數(shù)m=521+443=964，使得S_m=2008…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列與函數(shù)的知識(shí)．解決第三問(wèn)的關(guān)鍵在于求出a_m及其前面所有項(xiàng)之和的表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算得到10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167，即a₁₀＜2008＜a₁₁從而使問(wèn)題得到解決．