Question

設(shè)p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-4x+a）的定義域?yàn)镽；q：設(shè)

a

=(2x2+x  ，-1)，

b

=(1  ， ax+2)，不等式

a

•

b

＞0對(duì)?x∈（-∞，-1）上恒成立，如果命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：現(xiàn)將命題p和q化簡，注意恒成立問題的轉(zhuǎn)化，然后由“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，等價(jià)于p，q一真一假，分類討論即可．

解答： 解：若p真則ax²-4x+a＞0對(duì)x∈R都成立，則△＜0且a＞0，

a＞0 16-4a2＜0

解得a＞2，
若q真則由

a

•

b

＞0對(duì)?x∈（-∞，-1）上恒成立，
2x²+x-（ax+2）＞0即a＞2x-

2

x

+1對(duì)?x∈（-∞，-1）上恒成立，則a＞（2x-

2

x

+1）_max
令y=2x-

2

x

+1，在 （-∞，-1]上是增函數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)取得最大值y_max=1，
故a≥1，
又“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，等價(jià)于p，q一真一假，
若p真q假，則

a＞2 a＜1

，無解，
若p假q真，則

a≤2 a≥1

，則1≤a≤2，
綜上，1≤a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題的真假判斷，注意恒成立問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)或最值問題處理．