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如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．
分析：（1）由橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，知拋物線P：x2=4cy．設過F2的直線l的方程為y+c=kx，聯立
y+c=ky
x2=4cy
，得x2-4kcx+4c2=0，利用韋達定理能證明切線l的斜率為定值．
（2）設EO=t，由
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，知T在線段EO上移動，故
EO
•
OT
=-|
EO
|•|
OT
|
|
EO
|+|
OT
|=t
，由
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，得到t=
5
．由此能求出拋物線P的方程．
（3）由直線l的方程為y=x-
5
．聯立
y=x-
5
x2
a2-5
+
y2
a2
=1
，得（2a2-5）x2-2
5
（a2-5）x-（a2-5）2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
，x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
．當λ=2時，x1=-2x2．當λ=4時，x1=-4x2．由此能求出橢圓離心率e的取值范圍．
解答：（1）證明：∵橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），
拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，
∴
p
2
=c，∴拋物線P：x2=4cy．
設過F2的直線l的方程為y+c=kx，
聯立
y+c=ky
x2=4cy
，得x2-4kcx+4c2=0，
∵過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，
∴
△=16k2c2-16c2=0
k＞0
，
解得k=1．
故切線l的斜率k為定值1．
（2）設EO=t，∵
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，
∴T在線段EO上移動，
∴
ET
•
OT
=-|
ET
|•|
OT
|
|
ET
|+|
OT
|=t
，
∵
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，
∴當|
ET
|=|
OT
|=
t
2
時，
ET
•
OT
的最小值=-
t2
4
=-
5
4
，
∴t=
5
．
∵過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，
∴由（1）知k=1，拋物線在E點處的導數，得E（p，
p
2
），
由t2=P2+（
p
2
）2=5，解得P=2，所以拋物線方程為，
∴拋物線P的方程為x2=4y．
（3）由（2）得c=
5
，
∵直線l的斜率k=1，∴直線l的方程為y=x-
5
．
聯立
y=x-
5
x2
a2-5
+
y2
a2
=1
，得（2a2-5）x2-2
5
（a2-5）x-（a2-5）2=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
，x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
．
∵直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
，λ∈[2，4]，
∴當λ=2時，x1=-2x2．
∴x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
=-x2，x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
=-2x22．
∴
-(a2-5)2
2a2-5
=-2•
20(a2-5)2
(2a2-5)2
，解得a=
3
10
2
，e=
5
3
10
2
=
2
3
．
當λ=4時，x1=-4x2．
∴x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
=-3x2，x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
=-4x22．
∴
-(a2-5)2
2a2-5
=-4•
1
9
•
20(a2-5)2
(2a2-5)2
，解得a=
5
10
6
，e=
5
5
10
6
=
3
2
5
．
∴橢圓離心率e的取值范圍是[
2
3
，
3
2
5
]．
點評：本題考查切線斜率為定值的求法，考查拋物線方程的求法，考查橢圓離心率取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點M、N關于直線l對稱，若存在，則求出函數f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點，右焦點分別為A，F，右準線為l，N為l上一點，且在x軸上方，AN與橢圓交于點M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F，N三點的圓與y軸交于P，Q兩點，求PQ的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點，右焦點分別為A、F，右準線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點為K，將直線l繞K順時針旋轉
π
4
得直線l，動點P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的最小值．

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