【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若,求函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));

(Ⅱ)若恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值集合;

(Ⅲ)若有兩零點(diǎn),求證:.

【答案】(1)1(2){1}(3)見(jiàn)解析

【解析】

(Ⅰ)先求出,再結(jié)合單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的概念可解得零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(Ⅱ)求出并求出極值點(diǎn),結(jié)合單調(diào)性,討論,時(shí)分別對(duì)a進(jìn)行討論得出的取值集合;

(Ⅲ)先證.根據(jù)a建立等式關(guān)系,再結(jié)合換元法,用t表示,再建立新函數(shù),根據(jù)的單調(diào)性及最值可證得,再證明,利用,根據(jù)可解出(記.,結(jié)合(Ⅰ)可知,建立新函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合的單調(diào)性可得出的不等式,整理可證的結(jié)論.

(Ⅰ)由題設(shè),,故上單調(diào)遞減.

所以上至多只有一個(gè)零點(diǎn).

,故函數(shù)上只有一個(gè)零點(diǎn).

(Ⅱ),令.

當(dāng)時(shí),.上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),.上單調(diào)遞增.

.

1)當(dāng),即時(shí),因?yàn)樽畲笾迭c(diǎn)唯一,故符合題設(shè);

2)當(dāng),即時(shí),恒成立,不合題設(shè);

3)當(dāng),即時(shí),一方面,;另一方面,(易證:時(shí),),于是有兩個(gè)零點(diǎn),不合題設(shè).

綜上,的取值集合為.

(Ⅲ)先證.

依題設(shè),有,于是.

,則,故.

于是.

記函數(shù).

因?yàn)?/span>,故上單調(diào)遞增.

于是時(shí),.

,所以.

再證:.

因?yàn)?/span>,故也是的兩零點(diǎn).

,得(記.

仿(1)知的唯一最大值點(diǎn),故有.

記函數(shù),則,故上單調(diào)遞增.

故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

于是

整理,得,

.

同理,.

,

于是. 綜上,.

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分?jǐn)?shù)段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

xy

11

21

34

45

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