(本題滿分12分)
在平面直角坐標系中,已知動圓過點
,且被
軸所截得的弦長為4.
(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ) 過點分別作斜率為
的兩條直線
,交
于
兩點(點
異于點
),若
,且直線
與圓
相切,求△
的面積.
(1),(2)
,
【解析】
試題分析:首先設(shè)動圓圓心為,半徑為r,利用動圓過點(2,0)列出一式,再根據(jù)動圓被
軸所截得的弦長為4(半弦,半徑,弦心距滿足勾股定理)列出一式,兩式相減消去r,得圓心軌跡方程為一條拋物線;第二步由于
,可設(shè)
的斜率為k,則
的斜率為-k,用點斜式寫出直線方程,把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x,得關(guān)于y的一元二次方程,由根與系數(shù)關(guān)系,一根為
,求出另一根
,代入直線方程求出
,同理聯(lián)立另一方程組,用同樣的方法求出另一點坐標
,求出AB的斜率k=-1, 用斜截式設(shè)出AB的方程,借助直線與圓相切,圓心到直線距離等于半徑,求出直線的截距,最后求出三角形的面積;
試題解析:(Ⅰ) 設(shè)動圓圓心坐標為,半徑為
,由題可知
;
動圓圓心的軌跡方程為
(Ⅱ) 設(shè)直線斜率為
,則
點P(1,2)在拋物線
上
設(shè),
恒成立,即
有
代入直線方程可得
同理可得 ,
不妨設(shè).因為直線
與圓
相切,所以
解得
或
,
當時, 直線
過點
,舍
當時, 由
;
到直線
的距離為
,△
的面積為
.
考點:1.求軌跡方程;2.直線與拋物線;
科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年福建省等高三上學期三校聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
拋擲三枚不同的具有正、反兩面的金屬制品,假定
正面向上的概率為
,
正面向上的概率為
,
正面向上的概率為t(0<t<1),把這三枚金屬制品各拋擲一次,設(shè)
表示正面向上的枚數(shù)。
(1)求的分布列及數(shù)學期望
(用t表示);
(2)令,求數(shù)列
的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷(一)文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)集合,
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷(一)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知拋物線(
)與橢圓
(
)有相同的焦點
,點
是兩曲線的一個公共點,且
軸,則橢圓的離心率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷(一)理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè)集合,
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知雙曲線C:,點P與雙曲線C的焦點不重合.若點P關(guān)于雙曲線C的上、下焦點的對稱點分別為A、B,點Q在雙曲線C的上支上,點P關(guān)于點Q的對稱點為
,則
=____.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015年東北三省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
橢圓兩個焦點分別是
,點
是橢圓上任意一點,則
的取值范圍是( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年浙江省紹興市高三上學期期末統(tǒng)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知實數(shù),
滿足
,則
的最小值為( )
A. B.
C.
D.
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