Question

（本題滿分12分）

在平面直角坐標系中，已知動圓過點，且被軸所截得的弦長為4.

(Ⅰ) 求動圓圓心的軌跡的方程;

(Ⅱ) 過點分別作斜率為的兩條直線，交于兩點(點異于點),若，且直線與圓相切，求△的面積.

Answer 1

（1），（2），

【解析】

試題分析：首先設(shè)動圓圓心為，半徑為r，利用動圓過點（2，0）列出一式，再根據(jù)動圓被軸所截得的弦長為4（半弦，半徑，弦心距滿足勾股定理）列出一式，兩式相減消去r,得圓心軌跡方程為一條拋物線；第二步由于，可設(shè)的斜率為k,則的斜率為-k,用點斜式寫出直線方程，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x,得關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系，一根為，求出另一根，代入直線方程求出，同理聯(lián)立另一方程組，用同樣的方法求出另一點坐標，求出AB的斜率k=-1, 用斜截式設(shè)出AB的方程，借助直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑，求出直線的截距，最后求出三角形的面積；

試題解析：(Ⅰ) 設(shè)動圓圓心坐標為，半徑為，由題可知；

動圓圓心的軌跡方程為

(Ⅱ) 設(shè)直線斜率為,則點P（1,2）在拋物線上

設(shè),恒成立，即有

代入直線方程可得

同理可得 ，

不妨設(shè).因為直線與圓相切，所以解得或,

當時, 直線過點,舍

當時, 由；

到直線的距離為，△的面積為.

考點：1.求軌跡方程；2.直線與拋物線；