Question

（2014•廣東模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點，且2BE=EP．
（1）證明：AC⊥DE；
（2）若PC=

2

BC，求二面角E-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的定義，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，證出BD⊥AC，根據(jù)線面垂直判定定理證出AC⊥平面PBD，從而得到AC⊥DE；
（2）建立空間直角坐標系，如圖所示．得D、A、C、P、E的坐標，從而得到

CA

、

CP

、

CE

的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

u

=（1，1，1）是平面ACP的一個法向量，

v

=（-1，1，1）是平面ACE的一個法向量，利用空間向量的夾角公式即可算出二面角E-AC-P的余弦值．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵PD、BD是平面PBD內的相交直線，∴AC⊥平面PBD
∵DE?平面PBD，∴AC⊥BD
（2）分別以DP、DA、DC所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
設BC=3，則CP=3

2

，DP=3，結合2BE=EP可得
D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），
E（1，2，2）
∴

CA

=（0，3，-3），

CP

=（3，0，-3），

CE

=（1，2，-1）
設平面ACP的一個法向量為

u

=（x，y，z），可得

u • CA =3y-3z=0 u • CP =3x-3z=0

，取x=1得

u

=（1，1，1）
同理求得平面ACE的一個法向量為

v

=（-1，1，1）
∵cos＜

u

，

v

＞=

u • v

|u| • |v|

=

1

3

，∴二面角E-AC-P的余弦值等于

1

3

點評：本題在特殊四棱錐中求證線面垂直，并求二面角的大小．著重考查了空間線面垂直的定義與判定、空間向量的夾角公式和利用空間坐標系研究二面角的大小等知識，屬于中檔題．