Question

我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表：用a_ij(i≥j)表示第i行第j個數(shù)(i、j為正整數(shù))，使a_il=a_ii=i ；每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和(第一、二行除外，如圖)，設(shè)第n(n為正整數(shù))行中各數(shù)之和為b_n．

   （1）試寫出b₂一2b₁；，b₃-2b₂，b₄-2b₃,b₅-2b₄，并推測b_n+1和b_n的關(guān)系(無需證明)；

   （2）證明數(shù)列{b_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；

   （3）數(shù)列{ b_n}中是否存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p，q，r為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列?若存在求出P，q，r的關(guān)系；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）b_n+1-2 b_n=2（2）b_n =3×2^n-1-2（3）不存在

解析:

（1）b_l=1,；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46：

可見：b₂-2 b_l=2；b₃-2 b₂=2；b₄-2 b₃=2；b₅-2 b₄=2

  猜測：b_n+1-2 b_n=2 (或b_n+1=2 b_n+2或b_n+1- b_n=3×2^n-1)

   （2）由（1）

    所以{b_n+2}，是以b₁+2=3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

∴ b_n+2=3×2^n-1  ,即b_n =3×2^n-1-2。。-

(注：若考慮，且不討論n=1，扣1分)

   （3）若數(shù)列{ b_n }中存在不同的三項b_p, b_{q ,} b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)p>q>r,顯然，{ b_n }是遞增數(shù)列，則2 b_q= b_p, + b_r

即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2）,于是2×2^q-r=2^q-r+1

    由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2

∴等式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立，故數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項b_p，b_q，b_r(p,q,r∈N)恰好成等差數(shù)列--