已知函數(shù)f(x)=(x+1)2
(1)當(dāng)1≤x≤m時(shí),不等式f(x-3)≤x恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;
(2)在曲線y=f(x+t)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求t的取值范圍;
(3)在直線y=-
1
4
上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作曲線y=f(x+t)的兩條切線l1、l2,求證:l1⊥l2
考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)1≤x≤m時(shí),不等式f(x-3)≤x恒成立,即y=f(x-3)=(x-2)2在區(qū)間[1,4]上圖象在直線y=x的下面,求出兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo),可得答案.
(2)若曲線y=f(x+t)上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則方程組
y=f(x+t)
y=-x+b
有解,結(jié)合一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)鍵,韋達(dá)定理等,可得t的取值范圍;
(3)設(shè)P的坐標(biāo)為(a,-
1
4
),可求出過點(diǎn)P作曲線y=f(x+t)的切線方程,結(jié)合切線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立所得方程組只有一解,可得兩條直線的斜率積為-1,進(jìn)而得到結(jié)論.
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=(x+1)2
∴f(x-3)=(x-2)2
y=x
y=(x-2)2
x=1
y=1
x=4
y=4

即y=f(x-3)=(x-2)2在區(qū)間[1,4]上圖象在直線y=x的下面,
即f(x-3)≤x恒成立,
∴m的最大值為4.
(2)設(shè)曲線上關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A(x1,y1)和B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)M(x0,y0
則直線AB的方程為:y=-x+b
若在曲線y=f(x+t)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
則方程組
y=f(x+t)
y=-x+b
有解
即方程組
y=(x+t+1)2
y=-x+b
有解
即方程x2+(2t+3)x+(t+1)2-b=0有解
即△=(2t+3)2-4[(t+1)2-b]=4t+5+4b>0…①
則x1+x2=-2t-3,x0=-
2t+3
2
,y0=-x0+b=
2t+3
2
+b
又因?yàn)锳B中點(diǎn)在直線y=x上,所以y0=x0,
得b=-2t-3
代入①式得:t<-
7
4

證明:(3)設(shè)P的坐標(biāo)為(a,-
1
4
),過P的切線方程為:y+
1
4
=k(x-a),
則方程組
y=f(x+t)
y+
1
4
=k(x-a)
有且只有一解
即方程組
y=(x+t+1)2
y+
1
4
=k(x-a)
有且只有一解
即方程x2+[2(t+1)-k]x+(t+1)2+ka+
1
4
=0
有一解
即△=[2(t+1)-k]2-4[(t+1)2+ka+
1
4
]
=k2-4(t+1+a)k-1=0
直線l1、l2的斜率k1、k2為方程k2-4(t+1+a)k-1=0的兩根,
則k1•k2=-1
∴l(xiāng)1⊥l2
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),直線的交點(diǎn),曲線的切線,韋達(dá)定理,直線垂直的充要條件,是函數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用,難度較大,屬于難題.
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a2
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1
2
,過橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m:x=1與橢圓G交于點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限).
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a
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b
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a
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3
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3
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x2
6
+
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2
=1
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