【題目】設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)(重根按一個計).
(1)求方程x2+bx+c=0有實根的概率;
(2)求ξ的分布列和數(shù)學期望;
(3)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根的概率.
【答案】
(1)解:由題意知,本題是一個等可能事件的概率,
試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36,
滿足條件的事件是使方程有實根,則△=b2﹣4c≥0,即 .
下面針對于c的取值進行討論
當c=1時,b=2,3,4,5,6;
當c=2時,b=3,4,5,6;
當c=3時,b=4,5,6;
當c=4時,b=4,5,6;
當c=5時,b=5,6;
當c=6時,b=5,6,
目標事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19,
因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為 .
(2)解:由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ=0,1,2
根據(jù)第一問做出的結果得到
則 , , ,
∴ξ的分布列為
ξ | 0 | 1 | 2 |
P |
∴ξ的數(shù)學期望 .
(3)解:在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,
這是一個條件概率,
記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M,
“方程ax2+bx+c=0有實根”為事件N,
則 , ,
∴ .
【解析】(1)由題意知,本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6,滿足條件的事件是使方程有實根,則△=b2﹣4c≥0,對于c的取值進行列舉,得到事件數(shù),根據(jù)概率公式得到結果.(2)由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ的可能取值0,1,2根據(jù)第一問做出的結果寫出變量對應的概率,寫出分布列和期望.(3)在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根,這是一個條件概率,做出先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的概率和先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實根的概率,根據(jù)條件概率的公式得到結果.
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點,需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},從A到B的對應法則f不是映射的是( )
A.f:x
B.f:x
C.f:x
D.f:x
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【題目】在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.已知曲線C1: (t為參數(shù)),C2: (θ為參數(shù)).
(1)化C1 , C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t= ,Q為C2上的動點,求PQ中點M到直線C3:ρ(cosθ﹣2sinθ)=7距離的最小值.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB= =AC=2,E,F(xiàn)分別為A1C1 , BC的中點.
(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求證:C1F∥平面ABE.
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【題目】如圖,從2009年參加奧運知識競賽的學生中抽出60名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如圖所示.觀察圖形,估計這次奧運知識競賽的及格率(大于或等于60分為及格)為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開設A、B、C、D、E五門選修課,要求每位同學彼此獨立地從中選修3門課程.某甲同學必選A課程,不選B課程,另從其余課程中隨機任選兩門課程.乙、丙兩名同學從五門課程中隨機任選三門課程.
(1)求甲同學選中C課程且乙、丙同學未選C課程的概率;
(2)用X表示甲、乙、丙選中C課程的人數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1= an2﹣ nan+1(n∈N*),且a1=3.
(1)計算a2 , a3 , a4的值,由此猜想數(shù)列{an}的通項公式,并給出證明;
(2)求證:當n≥2時,ann≥4nn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =( ,﹣1), =( , ),若存在非零實數(shù)k,t使得 = +(t2﹣3) , =﹣k +t ,且 ⊥ ,試求: 的最小值.
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